11 szeminárium
Curves másodrendű a síkban.
háttér
I. A vonal egyenlete a gépen.
Opredelenie.Uravneniem vonal (görbe) a síkban A derékszögű koordináta-rendszerben az úgynevezett egyenlet, ahol- függvény két változóés. A polár koordinátarendszerben, a vonal egyenletnek formájában. Ha az egyenletmegoldható, tekintettel a változó, Az egyenes egyenlete felírható.
Mivel a egy pont koordinátáit a vonal csatlakozik a következő egyenlet által, a vonal egydimenziós mértani objektum. A probléma megtalálni a metszéspontja a két vonal által megadott egyenletek és,
csökken megoldása egy rendszer két egyenlet két ismeretlent:
Vonal a gépen is megadható parametrikus két egyenlet
ahol és- koordináta pont feküdt a vonalon, és- változó nazyvaemayaparametrom.
Íme néhány példa a vonalak.
A kör sugara origó középpontú.
Egyenleteket, mint egy kör alakú:
a) - egy derékszögű koordináta-rendszerben;
b) - a polár koordináta rendszerben;
c) - paraméteres formában.
A paraméteres formában a ciklois egyenletnek formájában
Leírja a görbe pont a körön , amely tekercsben csúszás nélkül a vezetékes.
Astroid által megadott egyenletek:
a) - egy derékszögű koordináta-rendszerben;
b) - paraméteres formában.
Leírja a görbe pont a körön , amely tekercseknél csúszás nélkül a belső oldalán a körön.
Egyenlet kardioid polár koordinátarendszerben megadott
.
Ez a görbe írja le a körön pont , gördülő kerülete mentén azonos sugarú kívülről.
Kardioid egyenlet egy speciális esete () A csigák Pascal
.
Bernoulli lemniscate által megadott egyenletek:
a) - a Descartes-féle koordináta-rendszerben;
b) - a polár koordináta rendszerben.
A terméket a távolságok az egyes pont mozgató Bernoulli két adatpont ésegyenlő a tér a két pont közötti távolságés.
Derékszögű lap által adott egyenletek:
a) - a Descartes-féle koordináta-rendszerben;
b) - paraméteres formában.
A paraméteres formában a görbe által megadott egyenletek
9) emelkedett háromszorosára.
ez a görbe a polár koordinátarendszerben egyenlet által definiált
10) chetyrehlepestkovaya emelkedett.
A egyenletnek formájában
.
11) egy spirális Archimedes.
Ez a görbe a polár koordinátarendszerben által leírt egyenlet
12) egy logaritmikus spirál.
A egyenletnek formájában
13) hiperbolikus spirál.
Ez a görbe adja meg egyenletek
II. Az általános egyenlete másodrendű és hozza kanonikus formában.
Az általános másodfokú egyenlet a vonal formájában
Feltételezzük, hogy . Ebben az általános formában is nehéz belátni, hogy a görbe van dolgunk. Ezért a vizsgálat a görbe által meghatározott ennek az egyenletnek, ebből következik, kezdetben vezet az egyenlet használatával a koordináta-transzformációt, hogy a kanonikus (legegyszerűbb) formában.
Párhuzamos fordítás származására.
Új (alapozás) koordináta rendszerben bevezetett segítségével kapcsolatok
Az új koordináta rendszerben az (1) egyenlet válik
Figyelembe állandóként ésoldatot a rendszer
ki tudjuk küszöbölni a görbék egyenlete a feltételeket az első fokú változók és. Így egy derékszögű koordináta-rendszer és az új központegyenlet a másodrendű görbe lesz formájában
Megoldásában az egyenletrendszert (2) eset lehetséges:
1) . A rendszernek van egy egyedülálló megoldás, a lényegnazyvaetsyatsentrom görbe. és a görbe maga az úgynevezett központi görbe. központi görbék
2). Lehetnek olyan esetek:
a) az egyenletrendszert nincs megoldás, a görbék nem a központ és az úgynevezett parabola;
b) az egyenletrendszert van végtelen számú megoldást, a görbe az úgynevezett degenerált parabola (vagy egy pár képzeletbeli párhuzamos vonalak egy pont).
Ezután vegyük azt az esetet központi részletei görbék. Azt, hogy a forgatás a Koordinátatengelyek szög a központ körül
görbéje (3) egyenlet válik
,
Mi választjuk ki a forgásszög a Koordinátatengelyek , kielégítése egyenlőség
vagy ezzel egyenértékű, az egyenlőség. Ez a forgás szög közül választott állapot. Következésképpen az egyenlet a görbe a koordináta-rendszerbenprimetkanonichesky megtekintés
.
Példa. Hagyja, hogy a kanonikus egyenlete másodrendű görbe, amelyre. Találunk a koordinátákat a központ a görbe az egyenletrendszert
. Megfeszített koordinátarendszerben görbe egyenlete lesz
.
Megjegyezzük, hogy az adott, azaz görbe A görbe ellipszis. Forgassuk el a koordináta-tengelyek szögben, amely megtalálható az egyenletből. Ez az egyenlet két megoldás:. mint, kapott két oldatok megfelelnek két egymásra merőleges irányban. Ezért cseréje egy szög másik vezet csak cserélni tengelytengely(Vagy fordítva). Nézzük meg az első határozat. feltéve, hogyés, találunkés, valamint az együtthatókés. Emlékezzünk vissza, hogy megtalálja a forgási szögének koordinátatengelyeken egyenlősége. Így az egyenlet a görbe az új koordináta rendszer feltételezi formájában
.
Megvan a kanonikus egyenlete ellipszis, félig tengelyek .