Előadás 17 faktor gyűrű
A koncepció az ideális gyűrűkH hasonló a normál osztó csoport G. Ez a konstrukció lehetővé teszi, hogy a megközelítés a hányadost gyűrűt ugyanolyan módon, mint az építőiparban a faktor G csoport / H.
enged - ideális.
Mivel a alapgyűrű Ez egy additív Abel-csoport , elemként hányados gyűrűk kiválasztáshoz cosets, ahol, amely nazyvayutsyaklassami maradékok modulo egy gyűrű ideális.
Tétel. A több adalékanyag cosets alaktényező gyűrűt A műveletek:
Ezen túlmenően, az a természetes térkép vidayavlyaetsyaepimorfizmom (- szürjektıv).
Bizonyítás. A Abel-csoport bármely alcsoportjanormális, mert , Ezért az expressziós (1) meghatároz egy Abel-csoport hányadost gyűrűt, és a leképezés rá additív Abel-csoportok G és.
Továbbra is ellenőrizheti, hogy a kifejezést (2) egyértelműen meghatározza a szorzás a sor adalék cosets , azaz Ez nem függ a választott képviselőinek az osztályok.
enged ,- képviselői a két cosets és, azaz
,
,
Továbbra is azt mutatják, hogy .
Sőt, mivel és - ideális K, akkor
ezért Ezek az azonos mellékosztály elemekkel, ami azt jelenti, hogy a termék (2) igaz.
Példa. Tekintsük a gyűrű egészek . Az ideális az, hogy a gyűrű, azaz az egész számok osztható m nyom nélkül.
Adalék a gyűrű szomszédos K osztály ideális Ez a forma, ahol.
A több cosets adalék pontosan maradék osztályok modulo , és megvan a forma:
Így, a gyűrű alakú elemek a faktor a maradék osztályok modulo
.
művelet, A faktor koltsezadayutsya a maradék osztályok, mint a múltban:
,
akkor fix m, mint eddig is, hogy használja a gyors- :
A koncepció a gyűrű-faktor Az ideális gyűrűEz lehetővé teszi, hogy az alapvető tétel a homomorfizmus gyűrűk.
A mező meghatározása, egysejtűek tulajdonságait.
Bármely gyűrűben kivonás végzik - az inverz művelet hozzáadás:
A műveletek végrehajtása során a részleg - az inverz művelet a szaporodás a meghatározása a gyűrű nem mond semmit. Belátható, hogy tekintettel a osztási művelet különböző gyűrűk rendelkeznek különböző tulajdonságokkal. Például, a gyűrű páros számok elosztjuk egy számot egy másik végzik csak kivételes esetekben; hogy gyűrű nincs olyan elem, amely osztozik annak minden eleme.
A gyűrű az egészek felosztása egy szám egy másik végezzük kivételes esetekben, de minden eleme a gyűrű osztva 1 és -1. A gyűrű racionálisosztás mindig megtörténik, kivéve nullával osztani.
Megjegyzés. Osztás nullával lehetetlen bármilyen gyűrű: osztott elem 0 - azt jelenti, hogy megtalálják egy elemet a gyűrű, hogy, de amikorez nem lehetséges, mert minden eleme a gyűrű:.
A magasabb algebra különösen a matematika általában speciális szerepet játszanak kommutatív gyűrű. Ez végre, amelyben osztás mint nullával osztani. Ezek az úgynevezett területeken.
Adunk több meghatározása terén, amelyek tükrözik a főbb jellemzői.
Opredelenie1. kommutatív gyűrű nazyvaetsyapolem és jelöljük , ha tartalmaz legalább egy elemet nullától eltérő, és ha ez végre egy osztási művelet, mint osztás nullával, vagyis a valamennyi elemének és, amelyből, tartalmaz egy és csak egy ilyen elem, hogy:
elem Ez az úgynevezett privát elemekésés meg van írva, a frakció.
Opredelenie2. Paul kommutatív gyűrű, amelyben nonzeros csoportot alkotnak a működését szorzás:
multiplikatív csoportjában egy mező.
Opredelenie3. mező - kommutatív gyűrű egységét nem egyenlő nullával, ahol mindegyik nullától eltérő elem invertálható:
Mint látható a definíciók terén Ez egy hibrid a két csoport - additív Abel-csoportés multiplikatív kapcsolódó elosztó törvény (jelenleg egy, a kommutativitás).
Megjegyzés. Foglalt követelmények meghatározása terén nevezzük axiómák terén.
Definíció. Térelemek számok, az úgynevezett numerikus mezőket.
1. A gyűrű a racionális számok Ez egy területen.
2. A gyűrű a valós számok Ez is egy területen.
3. Ring szám az űrlap, ahol, Ez egy területen.
4. A gyűrű a komplex számok Ez egy területen.
Az összes példa numerikus mezőket. Példák a nem-numerikus mezőket az alábbiakban tárgyaljuk.