iteratív módszerek
A nagy ismeretlenek száma a lineáris egyenletrendszer Gauss-elimináció rendszer, amely a pontos megoldás, akkor elég nehéz. Ebben az esetben, hogy megtalálják a gyökerek könnyebben használható közelítő iteratív módszereket. Tekintsük az iterációs módszer (Seidel-módszer).
Adott egy rendszer
Feltételezve, hogy az átlós feltételeket - az együtthatók nem nulla (I = 1, ..., n), az egyenlet megoldásához rendszer tekintetében az első , A második - kapcsolatbanstb Aztán, egyenértékű rendszer:
A rendszer (2) úgy érik el egymást követő közelítések. Mivel a nulla közelítés bármilyen értéket felvehet. Gyakran használjuk ezt a oszlopon szabad feltételeket.
A következő közelítés úgy számítjuk ki, hogy ebben az esetben az értékeket A jobb oldali részében egyenletek (2). A mátrix formában, az első közelítés van kifejezve:
,
második közelítése számítják át az első:
.
Ha a szekvenciája közelítések Ez egy határt
,
ez a határérték egy olyan megoldás a (2), és ennek következtében, a rendszer (1).
Írunk képlet közelítő kibővített formában:
A módszer az egymást követő közelítések, képlettel definiált (3) nevezzük iterációval. Az iteratív folyamat konvergál is, azaz a számú közelítések megszerzéséhez szükséges a gyökérzet (1) egy adott pontossággal kicsi, ha a mátrix elemeinek elhanyagolható nagyságú. Ie a sikeres alkalmazása a folyamat iteráció diagonális elemeit rendszer modulok (1) nagynak kell lennie, mint a nem-diagonális együtthatók a modulok a rendszer. Az értékek a szabad a rendszer tagjai (1) az eredménye a döntés nem érinti.
Tekintsük a rendszer lineáris algebrai egyenletek három ismeretlennel:
Kiválasztjuk a jobb oldalon minden egyenlet átlós ismeretlen
A nulla (kezdeti) megközelítés a problémák néhány érték úgy döntünk, az ismeretlen, és hagyja, hogy . Behelyettesítve a kezdeti közelítés a rendszer (2)
A rendszer (3) kiszámításához az ismeretlen éscsak, hogy a számított értékek az ismeretlenek az aktuális iterációban.
Általában, hogy iteráció k- rendszer úgy néz ki, mint ez:
Azaz, az aktuális érték az ismeretlen azonnal használható a későbbi számításokban. Ezt a módszert nevezik iteratív módszer Gauss - Seidel.
Egzakt megoldás által kért iteratív folyamat () fogadja a 5-6-edik iteráció.
Abban az esetben, egy rendszer n egyenletek k - th közelítés a megoldás az lenne,:
Az iteratív folyamat addig folytatódik, amíg az összes nem zárja. közelség kritérium lehet feltétele
Tekintsük a módszer konvergencia kérdéseket. Adott egy rendszer két egyenlet
,
Tól (1) és (3) megkapjuk
Az utolsó egyenlet a következő:
Folytatva, akkor kap:
Ebből következik, hogy az iteratív folyamat Gauss - Seidel
konvergens, ha a megközelítés, hogy a k iterációs lesz jelentősen eltér az első közelítés. Ez csak akkor lehetséges, azzal a feltétellel:
,
ami azt jelenti, hogy az átlós tagok elsőbbséget élveznek a többiekkel.
A módszer előnye az eliminációs hogy véges és elméletileg fel lehet használni, hogy megoldja minden nem degenerált rendszer lineáris algebrai egyenletek. Iteratív Gauss-Seidel módszer konvergál csak különleges egyenletrendszerek. Azonban, ha az iterációs módszer konvergál, akkor előnyös:
számítási idő Egy iteráció, míg annak érdekében, hogy elkerüljék az idő arányos módszer, ha a döntés kapott kevesebb, mint zan ismétléseket, az iteratív eljárás teljes költség alacsonyabb lesz.
kerekítési hiba iteratív módszer kevesebb.
nagy rendszerek egyenletek nem lehet pontosan megoldható közvetlen módszerek.