Kiszámítása a görbe ívhossz l, meghatározott polár koordinátarendszerben
Hagyja, hogy a görbe L jelentése poláris koordinátarendszerben
= =
= =
= .
Az ív hossza a görbe a polár koordinátarendszerben L =.
Példa: Számítsuk ki a hossza a kardioid. Szimmetria kiszámítjuk a görbe ½ hosszúságban. ½L = = =
= = = = =
= =
½L = = = 4 (1-0) = 4 ÞL = # 8729 4 2 = 8
Tegyük fel, hogy a képletben az L = alsó határa az ívhossz állandó marad, és a felső határ megváltozik. Ennek hangsúlyozása, a felső határ betűvel jelöljük x. és a változó integráció - a levél t. Figyelembe véve, hogy az ív hossza L függvénye a felső határ, azt kapjuk:
Szerint a tétel a származékot integrál felső határa e függvény differenciálható, mind annak származéka, adja meg:
Ezért az ív differenciál dL vagy, gyorsírásos, dl = DX. Ettől. majd dl = . vagy dl =
Figyelembe véve ezt az eredményt, és az a tény, hogy a differenciál függvény egyenlő a növekmény ordináta érintője vezet a következő geometriai eltérés értelemben ív: dl eltérés ív hossza szegmens az érintője érintési pontján abszcissza x a ponton az abszcissza x + dx.
Kérdések az önuralmat:
1.Zapishite kiszámításának képlete az ív hossza a görbe adott egy derékszögű koordináta-rendszerben.
2.Zapishite számítási képlete az ív hosszát meghatározott parametrikusan.
3.Zapishite számítási képlete által meghatározott ívhossza egy poláris koordináta rendszerben.
4. Hogyan geometriai jelentése az ív eltérés?
Feladatok a független döntést:
1.Nayti hossza az ív a parabola az x = y = 0 = 1 DOX.
2. Keresse meg az ív hossza a görbe x =. y = a t = 0 és t = 1.
3.Nayti kardioid ív hossza r = 2.
Tipikus feladatok megoldása:
1. példa: megtalálni a vonal hossza ponttól
Megoldás: A vonal meghatározott koordináta-rendszerben. Nyilvánvaló, hogy .
Mivel a vizsgált intervallumban. az
= = =
= = =
Figyeljük meg, hogy a számítás a szerves használtuk csere:
2. példa Keresse meg a hossza a görbe
.
Megoldás: A görbe meghatározása parametrikusan. Könnyen belátható, hogy
= =
= =
= = = .
Mivel az intervallum, az egyenlőség =. az
= =
Find az ív hossza a kardioid r = a (1 + cos
Megoldás: Kardioid szimmetrikus a sarki tengely. Megváltoztatásával polárszöget 0. megkapjuk hosszának felét kardioid:
A teljes hossza a kardioid L = 2
Belátható, hogy mivel az egyenletek x = x (t) az ív hossza egy térgörbe, y = y (t), Z = z (t). . Azt a következő képlet: