számsorra

Tekintsük a természetes számok halmaza 1, 2, 3, 4, ... ..n, ...

Legyen minden természetes szám szerint néhány szabályt vagy törvényt van rendelve egy valós szám x1. x2. x3. ... xn. ... akkor azt mondjuk, hogy a természetes számok halmaza adott számszerű sorrendben n>.

A számszerű sorrendben van állítva, ha meghatározott szabály, amellyel bármely tagja a szekvenciát ki lehet számítani, kivéve, ha ismert számú. Ez a szabály az úgynevezett formuloynchlena sorrendben.

Például: X 2 = n

határa szekvencia

A szám egy nevezzük határa a szekvencia N>, ha minden e> 0 ott Kiszlon (ε) olyan, hogy a vsehn> nA egyenlőtlenség │hp - a│<ε. Обозначают .

Szekvencia, amely egy határt nevezik konvergens.

Egyenlőtlenség │hn -a│<ε равносильно неравенству а – ε <хn

A szám egy úgynevezett határ a sorozat, ha bármely e> 0-ra van Kiszlon (ε), hogy minden szempontból a szekvencia nomeramin> Npopadut a ε - szomszédságában a. Kívül ezen a környéken, vagy sem xn pont. vagy van egy véges számú őket.

1. Tétel. Ha a sorozatnak van egy határ, akkor egyedi.

Hagyja, hogy a szekvencia két különböző korlátot, és a és b. Tekintsünk egy szomszédságában pont ibtakoy kis mennyiségben, hogy azok nem metszik egymást. Használjuk az azt követő második meghatározási határ-követő. Mivel a száma és sorrendje a határértéket, akkor létezik egy olyan környéken pontot, és ez minden tagja, kivéve a szekvencia lehet véges számú esik ε - szomszédságában a. Mivel chislobyavlyaetsya határa sorozata, minden szempontból a sorozat kivételével csak véges számú azok esnek a ε - környék tochkib. Így minden tagja a készletben végtelen szomszédságában két pontot, ami nem lehet. Ez az ellentmondás. Következésképpen csak a határértéket, akkor a tétel igaz.

Alapvető tulajdonságait határértékek

Szakító algebrai összege véges számú szekvenciák egyenlő az algebrai összege szempontjából kívüli szekvenciák, ha ez utóbbi korlátozások vannak érvényben.

Limit a termék egy véges számú szekvenciák egyenlő a termék a tényezők kívül eső szekvenciák, ha ez utóbbi korlátozások vannak érvényben.

Korlátozza saját szekvenciák egy privát kívül a számláló és a nevező, ha ezek a korlátozások vannak érvényben, és a határ a nevező a sorozat eltér a nullától.

Lássuk be, például az első állítást.

Tegyük fel, hogy két szekvencia az n> n> és az n + yn>. Annak bizonyítására, hogy

Az általunk használt definíciója szekvencia limit.

enged , . Ez azt jelenti, hogy bármely ε> 0 számra létezik olyan N, ilyen chto│xn -a│

Forma a modulusa az összege közötti különbség és a nchlenom sorszámát (a + b) és azt használjuk a modul tulajdonságait és a fenti egyenlőtlenségeket.

│ (xn -yn) - (a + b) │ = │ (xn -a) + (in -b) │<│xn -a│+│yn -b│<+= ε

Akkor értelemszerűen szekvencia határt, a nyilatkozatot a szekvencia megfelelő összeget.

A fennmaradó állítások bizonyult hasonlóan.

Legyen a függvény definiáljuk a szomszédságában kivétel csak a pont. Tekintsük az viselkedés hajlamos az érték a x argumentumot is.

Definíció 1. A szám egy az úgynevezett korlátozó funkció hajlamos a. ha bármilyen szekvenciája argumentumértékeket területén a feltörekvő ka funkció. a megfelelő szekvenciát a függvény értékei hajlamos kA.

Lásd ezt így:

Ha a szekvenciája függvény értékei hajlamosvagyhajlamosa znacheniyua. akkor azt mondjuk, hogy a határérték funkció vagy.

Lásd ezt így:

határa hajlamosÚgy határozható meg másképp.

2. Definíció A szám alapján az úgynevezett korlátozó funkció A tochkea. ha , ottúgy, hogy minden x. kielégíti az egyenlőtlenséget az egyenlőtlenség.

Könnyen bizonyítani, hogy mindkét definíció egyenértékű a határ funkciót.

Grafikailag a meghatározása a limit is képviselteti magát az alábbiak szerint:

Amint az az érv x értékek tartoznak pont szomszédságában. A megfelelő értékeinek csökkenése pont szomszédságában. ebben az esetben a létezését a limit funkciót :

adott esetben, a funkciót meghatározták a ponton a;

pont szomszédságában, és meg kell felelnie a szimmetria és pont szomszédságában egy adott Nem kell, hogy megfeleljen ennek a követelménynek.

Definíció 3. A szám alapján a határ funkció ahaVan egy szám, amely az egyenlőtlenséget végezni minden x kielégíti az egyenlőtlenséget

---